Determinan Matriks dengan Ekspansi Kolom

Determinan suatu matriks adalah skalar atau suatu bilangan. Determinan suatu matriks A dinotasikan dengan det(A) atau |A|. Untuk menentukan determinan matriks berordo di atas 3 x 3, kita tidak dapat menggunakan aturan Sarrus, tetapi harus menggunakan kofaktor atau ekspansi baris/kolom. 

Sebelum mempelajari determinan dengan kofaktor, kita harus terlebih dahulu mempelajari elemen dan miror matriks.

Elemen dinotasikan dengan aij. Elemen aij adalah elemen matriks A yang terletak di baris ke-i dan kolom ke-j. (baca juga : Elemen Matriks)
Miror dinotasikan dengan Mij. Miror Mij adalah determinan matriks awal yang dihapus baris ke-i dan kolom ke-j. (baca juga : Minor Matriks)

Determinan Matriks Menggunakan Ekspansi Kolom Ke-j
Rumus ekspansi kolom ke-j

dimana  

a_ij  = elemen matriks A yang terletak di baris ke-i dan kolom ke-j 

C_ij  = Kofaktor ke-i dan ke-j (baca juga :Kofaktor Matriks)

Contoh 1
Diketahui Matriks A

Tentukan determinan matriks A dengan menggunakan ekspansi kolom ke-1 ?

Jawab
Langkah 1
Identifikasi j dan n terlebih dahulu
Diperoleh 
j = 1 (diperoleh dari ekspansi baris ke-1)
n = 3 (diperoleh dari ordo matriks A yaitu 3 x 3)

Langkah 2
Subtitusi nilai j dan n ke rumus determinan matriks menggunakan ekspansi kolom 

subtitusi j = 1 dan n = 3, diperoleh

selanjutnya uraikan notasi sigma, diperoleh 
det(A) = a_{11 ∙} C₁₁ + a_{21 ∙} C₂₁ + a_{31 ∙} C₃₁

Langkah 3
Tentukan  a₁₁ = 1  a₂₁ = 0   a₃₁ =3
selanjutnya tentukan nilai  C₁₁ C₂₁ C₃₁
tetapi kita harus menentukan M₁₁ M₂₁ M₃₁ terlebih dahulu

kemudian subtitusi ke rumus kofaktor, diperoleh

selanjutnya

kemudian subtitusi ke rumus kofaktor, diperoleh

selanjutnya

kemudian subtitusi ke rumus kofaktor, diperoleh


Langkah 4

Subtitusi ke rumus determinan matriks menggunakan ekspansi kolom ke-1 

det(A) = 1 ∙ 20 + 0 ∙ 9 + 3 ∙ -5

det(A) = 20 + 0 + (-15)

det(A) = 20 - 15

det(A) = 5 
Jadi determinan matriks A adalah 5

Contoh 2
Diketahui Matriks A

Tentukan determinan matriks A dengan menggunakan ekspansi kolom ke-2 ?

Jawab
Langkah 1
Identifikasi j dan n terlebih dahulu
Diperoleh 
j = 2 (diperoleh dari ekspansi baris ke-2)
n = 3 (diperoleh dari ordo matriks A yaitu 3 x 3)

Langkah 2
Subtitusi nilai j dan n ke rumus determinan matriks menggunakan ekspansi baris 

subtitusi j = 2 dan n = 3, diperoleh

selanjutnya uraikan notasi sigma, diperoleh 
det(A) = a_{12 ∙} C₁₂ + a_{22 ∙} C₂₂ + a_{32 ∙} C₃₂

Langkah 3
Tentukan  a₁₂ = -2  a₂₂ = 5   a₃₂ =1
selanjutnya tentukan nilai  C₁₂ C₂₂ C₃₂
tetapi kita harus menentukan M₁₂ M₂₂ M₃₂ terlebih dahulu

kemudian subtitusi ke rumus kofaktor, diperoleh

selanjutnya

kemudian subtitusi ke rumus kofaktor, diperoleh

selanjutnya

kemudian subtitusi ke rumus kofaktor, diperoleh


Langkah 4

Subtitusi ke rumus determinan matriks menggunakan ekspansi kolom ke-2

det(A) = -2 ∙ 0 + 5 ∙ 1 + 1 ∙ 0

det(A) = 0 + 5 + 0

det(A) = 5 
Jadi determinan matriks A adalah 5

Video Pembelajaran
Rumus Determinan Ekspansi Kolom Matriks 3 x 3

Rumus Determinan Ekspansi Kolom Matriks 4 x4

Ekspansi Kolom Ke-1 

Ekspansi Kolom Ke-2

Semoga bermanfaat yah