Contoh Penjelasan Pembentukan Model Program Linear

Contoh 1

Sebuah perusahaan mebel akan membuat meja dan kursi. Setiap meja membutuhkan 5 m² kayu jati dan 2 m² kayu pinus, serta membutuhkan waktu pembuatan 4 jam. Untuk membuat kursi 2 m² kayu jati, 3 m² kayu pinus, dan 2 jam kerja.

Dari penjualan sebuah meja didapat keuntungan sebesar Rp 12.000, sedangkan keuntungan sebuah kursi adalah Rp 8.000.

Perusahaan mebel ingin membuat sebanyak-banyaknya, tetapi terbatas dalam bahan baku dan tenaga kerja. Dalam seminggu perusahaan hanya mampu mendapatkan 150 m² kayu jati, 100 m² kayu pinus, serta hanya memiliki 80 jam kerja.

Masalah : Berapa banyak meja dan kursi yang harus perusahaan buat mengingat kendala yang ada, supaya memperoleh keuntungan yang sebanyak-banyaknya?

Penyelesaian :

Tahapan dalam membuat model Program Linear :

•      Membuat variabel keputusan :

Kentungan ditentukan oleh seberapa banyak meja dan kursi yang  dibuat. Oleh karena itu dibuat variabel keputusan sebagai berikut:

x₁ = jumlah meja yang harus dibuat

x₂ = jumlah kursi yang harus dibuat

•      Membuat fungsi tujuan

Tujuan dari perusahaan tersebut adalah memaksimumkan keuntungan.

Keuntungan meja = Rp 12.000  artinya 12.000x₁

Keuntungan kursi = Rp 8.000 artinya 8.000x₂

Jadi keuntungan yang diharapkan perusahaan tersebut adalah
f(x₁ , x₂) = 12.000x₁ + 8.000x₂

•      Kendala

Keterbatasan bahan baku dan tenaga kerja dapat dinyatakan dalam tabel di bawah ini:

Sumber Daya	Meja	Kursi	Persediaan
Kayu Jati	5	2	150
Kayu Pinus	2	3	100
Jam Kerja	4	2	80

 Perhatikan :

Kendala 1 bahan kayu jati (m²):

Meja memerlukan 5 m² kayu jati artinya 5x₁

Kursi memerlukan 2 m² kayu jati artinya 2x₂

Sedangkan persediahan kayu jati maksimal 150 m²  artinya tidak boleh lebih dari 150 m²

Jadi kendala 1 :  5x₁ + 2x₂ ≤ 150

Kendala 2 bahan kayu pinus (m²):

Meja memerlukan 2 m² kayu pinus artinya 2x₁

Kursi memerlukan 3 m² kayu pinus artinya 3x₂

Sedangkan persediahan kayu pinus maksimal 100 m²  artinya tidak boleh lebih dari 100 m²

Jadi kendala 2 :  2x₁ + 3x₂ ≤ 100

Kendala 3 waktu kerja (jam):

Meja memerlukan 4 jam untuk diproduksi artinya 4x₁

Kursi memerlukan 2 jam untuk diproduksi artinya 2x₂

Sedangkan persediahan jam kerja maksimal 80 jam  artinya tidak boleh lebih dari 80 jam

Jadi kendala 3 :  4x₁ + 2x₂ ≤ 80

Kendala Umum :

Harus ada meja dan kursi yang diproduksi artinya x₁, x₂ ≥ 0

Jadi model untuk masalah perusahaan mebel tersebut adalah :

Misalkan

x₁ = jumlah meja yang harus dibuat

x₂ = jumlah kursi yang harus dibuat

Maksimumkan : f(x₁ , x₂) = 12.000x₁ + 8.000x₂

Kendala :  

5x₁ + 2x₂ ≤ 150

2x₁ + 3x₂ ≤ 100

4x₁ + 2x₂ ≤ 80

x₁, x₂ ≥ 0

Contoh 2

Seorang pengusaha bahan kimia membuat 2 macam cairan pembunuh serangga, yaitu jenis superior (C1) dan jenis standar (C2). Kedua jenis cairan ini dibuat dari 2 macam bahan yang sama, yaitu A dan B, dengan komposisi berbeda.

Setiap liter cairan jenis supersior dibuat dari campuran 1 unit bahan A dan 3 unit bahan B, sedangkan setiap liter jenis standar dibuat dari campuran 2 unit bahan A dan 1 unit bahan B. Karena keterbatasan pasokan, setiap hari hanya dapat memperoleh 20 unit bahan A dan 20 unit bahan B.

Untuk setiap liter cairan jenis superior akan mendapatkan keuntungan Rp 30.000 dan untuk setiap cairan jenis standar akan mendapatkan keuntungan Rp 20.000

Jika diasumsikan laku terjual semua, berapa liter cairan masing-masih jenis dibuat tiap hari agar keuntungan yang didapat maksimum?

Penyelesaian

Tahapan dalam membuat model Program Linear :

•      Membuat variabel keputusan :

Kentungan ditentukan oleh seberapa banyak jumlah (liter) cairan kedua jenis yang harus dibuat (dengan keterbatasan bahan) agar keuntungan maksimum. Oleh karena itu dibuat variabel keputusan sebagai berikut:

x₁ = jumlah cairan jenis superior yang dibuat

x₂ = jumlah cairan jenis standar yang dibuat

•      Membuat fungsi tujuan

Tujuan dari perusahaan tersebut adalah memaksimumkan keuntungan.

Keuntungan cairan jenis superior (C₁) = Rp 30.000 artinya 30.000x₁

Kentungan cairan jenis standar (C₂) = Rp 20.000 artinya 20.000x₁

Jadi keuntungan yang diharapkan perusahaan tersebut adalah

f(x₁ , x₂) = 30.000x₁ + 20.000x₂

•      Kendala

Keterbatasan bahan baku dapat dinyatakan dalam tabel di bawah ini:

Bahan	Cairan Jenis Superior (C1)	Cairan Jenis Standar (C2)	Persediaan
A	1	2	20
B	3	1	20
Keuntungan	30.000	20.000	80

 Perhatikan :

Kendala 1 ketersediaan bahan A (liter) :

Cairan jenis superior (C1) memerlukan 1 liter bahan A artinya x₁

Cairan jenis standar (C2) memerlukan 2 liter bahan A artinya 2x₂

Sedangkan persediahan bahan A maksimal 20 liter artinya tidak boleh lebih dari 20 liter

Jadi kendala 1 :  x₁ + 2x₂ ≤ 20

Kendala 2 ketersediaan bahan B (liter) :

Cairan jenis superior (C1) memerlukan 3 liter bahan B artinya 3x₁

Cairan jenis standar (C2) memerlukan 1 liter bahan B artinya x₂               

Sedangkan persediahan bahan A maksimal 20 liter artinya tidak boleh lebih dari 20 liter

Jadi kendala 2 :  3x₁ + x₂ ≤ 20

Kendala Umum :

Harus ada cairan yang diproduksi artinya x₁, x₂ ≥ 0

Jadi model untuk masalah perusahaan kimia tersebut adalah :

Misalkan

x₁ = jumlah cairan jenis superior yang dibuat

x₂ = jumlah cairan jenis standar yang dibuat

Maksimumkan : f(x₁ , x₂) = 30.000x₁ + 20.000x₂

Kendala :

x₁ + 2x₂ ≤ 20

3x₁ + x₂ ≤ 20

x₁, x₂ ≥ 0

Contoh 3

Perusahan mebel memproduksi 3 model lemari (A, B, dan C). Ketiga model membutuhkan jenis bahan baku dan tenaga kerja yang sama, tetapi dengan jumlah yang berbeda. Rincian dapat dilihat pada tabel

	Model Almari
	A	B	C
Waktu Pembuatan (jam)	7	3	6
Harga Bahan Baku (ratusan ribu)	4	4	5

Karena keterbatasan modal, biaya pembelian bahan baku terbatas sebesar 200 (ratusan ribu) rupiah dan waktu pembuatan juga terbatas selama 150 (jam kerja)

Buatlah model program linier yang sesuai untuk menentukan jumlah almari tiap model yang harus dibuat agar keuntungan maksimum.

Penyelesaian :

Tahapan dalam membuat model Program Linear :

•      Membuat variabel keputusan :

Variabel keputusan yang hendak dicari nilainya adalah jumlah almari tiap jenis. Karena ada 3 jenis almari, maka ada 3 variabel keputusan, yaitu :

x_A = jumlah almari model A yang dibuat

x_B = jumlah almari model B yang dibuat

x_C = jumlah almari model C yang dibuat

•      Membuat fungsi tujuan

Tujuan dari perusahaan tersebut adalah memaksimumkan keuntungan.

Kentungan almari model A = Rp 400.000 artinya 400.000x_A

Kentungan almari model B = Rp 200.000 artinya 200.000x_B

Kentungan almari model C = Rp 300.000 artinya 300.000x_C

Jadi keuntungan yang diharapkan perusahaan tersebut adalah

f(x_A , x_B , x_C) = 400.000x_A + 200.000x_B + 300.000x_C

•      Kendala

Keterbatasan waktu pembuatan (jam) dan harga bahan baku (ratusan ribu) dapat dinyatakan dalam tabel di bawah ini:

 

	Model Almari			Persediaan
	A	B	C
Waktu Pembuatan (jam)	7	3	6	150
Harga Bahan Baku (ratusan ribu)	4	4	5	200
Keuntungan	400.000	200.000	300.000

Perhatikan :

Kendala 1 waktu pembuatan (jam):

Model almari A memerlukan 7 jam untuk diproduksi artinya 7x_A

Model almari B memerlukan 3 jam untuk diproduksi artinya 3x_B

Model almari C memerlukan 6 jam untuk diproduksi artinya 6x_C

Sedangkan total waktu pembuatan yang tersedia maksimal 150 jam artinya tidak boleh lebih dari 150 jam

Jadi kendala 1 :  7x_A + 3x_B + 6x_C ≤ 150

Kendala 2 harga bahan baku (ratus ribu):

Harga bahan baku model almari A adalah 4 artinya 4x_A

Harga bahan baku model almari B adalah 4 artinya 4x_B

Harga bahan baku model almari C adalah 5 artinya 5x_C

Sedangkan total harga bahan baku yang dapat dibeli adalahl 200 (ratus ribu) artinya tidak boleh lebih dari 200 (ratus ribu)

Jadi kendala 2 :  4x_A + 4x_B + 5x_C ≤ 200

Kendala Umum :

Harus ada almari yang diproduksi artinya  x_A , x_B , x_C  ≥ 0

Jadi model untuk masalah perusahaan tersebut adalah :

Misalkan

x_A = jumlah almari model A yang dibuat

x_B = jumlah almari model B yang dibuat

x_C = jumlah almari model C yang dibuat

Maksimumkan : f(x_A , x_B , x_C) = 400.000x_A + 200.000x_B + 300.000x_C

Kendala :

7x_A + 3x_B + 6x_C ≤ 150

4x_A + 4x_B + 5x_C ≤ 200

x_A , x_B , x_C  ≥ 0

Video Pembelajaran